【题目】某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，从产品中随机抽取了
个进行测量，根据所测量的数据画出频率分布直方图如下：
如果：尺寸数据在
内的零件为合格品，频率作为概率.
(1)从产品中随机抽取
件，合格品的个数为
，求的分布列与期望：
(2)为了提高产品合格率，现提出
，
两种不同的改进方案进行试验，若按方案进行试验后，随机抽取
件产品，不合格个数的期望是
：若按方案试验后，抽取
件产品，不合格个数的期望是，你会选择哪个改进方案?
【答案】（1）详见解析（2）应选择方案
，详见解析
【解析】
(1) 先由频率分布直方图，可以推出产品为合格品的概率，再求出随机变量
的分布列及期望；
(2) 方案随机抽取产品与
方案随机抽取产品都为相互独立事件，服从二项分布，由不合格个数的期望分别求出不合格的概率即可得出较好的方案.
（1）由直方图可知抽出产品为合格品的率为
即推出产品为合格品的概率为
，
从产品中随机抽取
件.合格品的个数的所有可能取值为0，1，2，3，4，
且
，
，
，
，
.
所以的分布判为
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的数学期望
.
（2）方案随机抽取产品不合格的概率是
，随机抽取
件产品，不合格个数
：
按方案随机抽取产品不合格的概率是
，随机抽取
件产品，不合格个数
依题意
，
，
解得
，
因为
，
所以应选择方案.
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【题目】已知在四棱锥
中，底面
是边长为
的正方形，
是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点．
（Ⅰ）求证：PO平面；
（Ⅱ）求平面EFG与平面所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角为
，若存在，求线段
的长度；若不存在，说明理由．
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【题目】某电信运营公司为响应国家5G网络建设政策，拟实行5G网络流量阶梯定价.每人月用流量中不超过
（一种流量计算单位）的部分按2元
收费；超出的部分按4元收费.从用户群中随机调查了10000位用户，获得了他们某月的流量使用数据.整理得到如下的频率分布直方图：
（1）若
为整数，依据本次调查，为使80
以上用户在该月的流量价格为2元，至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当
时，试估计用户该月的人均流量费.
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【题目】已知由n（n∈N*）个正整数构成的集合A＝{a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥3），记SA＝a1+a2+…+an，对于任意不大于SA的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m.
（1）求a1，a2的值；
（2）求证：“a1，a2，…，an成等差数列”的充要条件是“
”；
（3）若SA＝2020，求n的最小值，并指出n取最小值时an的最大值.
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【题目】如图，
是边长为1的正三角形，点P在所在的平面内，且
（a为常数），下列结论中正确的是（ ）
A.当
时，满足条件的点P有且只有一个
B.当
时，满足条件的点P有三个
C.当
时，满足条件的点P有无数个
D.当a为任意正实数时，满足条件的点总是有限个
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【题目】某电子设备工厂生产一种电子元件，质量控制工程师要在产品出厂前将次品检出.估计这个厂生产的电子元件的次品率为0.2%，且电子元件是否为次品相互独立，一般的检测流程是：先把
个
电子元件串联起来成组进行检验，若检测通过，则全部为正品；若检测不通过，则至少有一个次品，再逐一检测，直到把所有的次品找出，若检验一个电子元件的花费为5分钱，检验一组（个）电子元件的花费为
分钱.
（1）当
时，估算一组待检元件中有次品的概率；
（2）设每个电子元件检测费用的期望为
，求的表达式；
（3）试估计的值，使每个电子元件的检测费用的期望最小.（提示：用
进行估算）
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