【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数的单调性;
(Ⅲ)对于任意,
,都有
,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)分类讨论,详见解析;(Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)当时,求出
可得切线的斜率,从而得到切线方程.
(Ⅱ)求出后就
讨论其符号后可得函数的单调区间.
(Ⅲ)就、
、
、
、
分类讨论后可得
的最大值和最小值,从而得到关于
的不等式组,其解即为所求的取值范围.
解:(Ⅰ)当时,因为
所以,
.
又因为,
所以曲线在点
处的切线方程为
.
(Ⅱ)因为,
所以.
令,解得
或
.
若,当
即
或
时,
故函数的单调递增区间为
;
当即
时,故函数
的单调递减区间为
.
若,则
,
当且仅当时取等号,故函数
在
上是增函数.
若,当
即
或
时,
故函数的单调递增区间为
;
当即
时,故函数
的单调递减区间为
.
综上,时,函数
单调递增区间为
,单调递减区间为
;
时,函数
单调递增区间为
;
时,函数
单调递增区间为
,单调递减区间为
.
(Ⅲ) 由题设,只要即可.
令,解得
或
.
当时,随
变化,
变化情况如下表:
减 | 极小值 | 增 |
由表可知,此时
,不符合题意.
当时,随
变化,
变化情况如下表:
|
|
| |||||
增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
由表可得,
且,
,
因,所以只需
,
即 ,解得
.
当时,由(Ⅱ)知
在
为增函数,
此时,符合题意.
当时,
同理只需,即
,解得
.
当时,
,
,不符合题意.
综上,实数的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试,通过讲解100个陌生单词后,相隔十分钟进行听写测试,间隔时间(分钟)和答对人数
的统计表格如下:
时间 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
答对人数 | 98 | 70 | 52 | 36 | 30 | 20 | 15 | 11 | 5 | 5 |
1.99 | 1.85 | 1.72 | 1.56 | 1.48 | 1.30 | 1.18 | 1.04 | 0.7 | 0.7 |
时间与答对人数
的散点图如图:
附:,
,
,
,
,对于一组数据
,
,……,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.请根据表格数据回答下列问题:
(1)根据散点图判断,与
,哪个更适宣作为线性回归类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果,建立与
的回归方程;(数据保留3位有效数字)
(3)根据(2)请估算要想记住的内容,至多间隔多少分钟重新记忆一遍.(参考数据:
,
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(选修4-4:坐标系与参数方程)
在直角坐标系中,半圆C的参数方程为
(
为参数,
),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线的极坐标方程是
,射线OM:
与半圆C的交点为O、P,与直线
的交点为Q,求线段PQ的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示:
积极参加 班级工作 | 不太主动参加 班级工作 | 合计 | |
学习积极性高 | 18 | 7 | 25 |
学习积极性一般 | 6 | 19 | 25 |
合计 | 24 | 26 | 50 |
(1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少?
(2)试运用独立性检验的思想方法能否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系?并说明理由.(参考下表)
P(K2 ≥k) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在“挑战不可能”的电视节目上,甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动,规则是由密码专家给出题目,然后由个人依次出场解密,每人限定时间是
分钟内,否则派下一个人.
个人中只要有一人解密正确,则认为该团队挑战成功,否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况,抽取了甲
次的测试记录,绘制了如下的频率分布直方图.
(1)若甲解密成功所需时间的中位数为,求
、
的值,并求出甲在
分钟内解密成功的频率;
(2)在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力,甲,乙,丙解密成功的概率分别为,其中
表示第
个出场选手解密成功的概率,并且
定义为甲抽样中解密成功的频率代替,各人是否解密成功相互独立.
①求该团队挑战成功的概率;
②该团队以从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密,求团队挑战成功所需派出的人员数目
的分布列与数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,
的最大值为
.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)当时,讨论函数
的单调性;
(Ⅲ)当时,令
,是否存在区间
.使得函数
在区间
上的值域为
若存在,求实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:
如果:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率.
(1)从产品中随机抽取件,合格品的个数为
,求
的分布列与期望:
(2)为了提高产品合格率,现提出,
两种不同的改进方案进行试验,若按
方案进行试验后,随机抽取
件产品,不合格个数的期望是
:若按
方案试验后,抽取
件产品,不合格个数的期望是
,你会选择哪个改进方案?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】自2017年7月27日上映以来,《战狼2》的票房一路高歌猛进,并不断刷新华语电影票房纪录.继8月25日官方宣布冲破53亿票房之后,根据外媒Worldwide Box Office给出的2017年周末全球票房最新排名,《战狼2》以8.151亿美元(约54.18亿元)的成绩成功杀入前五.通过收集并整理了《战狼2》上映前两周的票房(单位:亿元)数据,绘制出下面的条形图.根据该条形图,下列结论错误的是( )
A.在《战狼2》上映前两周中,前四天票房逐日递增
B.在《战狼2》上映前两周中,日票房超过2亿元的共有12天
C.在《战狼2》上映前两周中,8月5日,8月6日达到了票房的高峰期
D.在《战狼2》上映前两周中,前五日的票房平均数高于后五日的票房平均数
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为建设美丽新农村,某村对本村布局重新进行了规划,其平面规划图如图所示,其中平行四边形区域为生活区,
为横穿村庄的一条道路,
区域为休闲公园,
,
,
的外接圆直径为
.
(1)求道路的长;
(2)该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏,以防村中的家畜破坏公园中的绿化,试求栅栏总长的最大值.
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