【题目】已知由n(n∈N*)个正整数构成的集合A={a1,a2,…,an}(a1<a2<…<an,n≥3),记SA=a1+a2+…+an,对于任意不大于SA的正整数m,均存在集合A的一个子集,使得该子集的所有元素之和等于m.
(1)求a1,a2的值;
(2)求证:“a1,a2,…,an成等差数列”的充要条件是“”;
(3)若SA=2020,求n的最小值,并指出n取最小值时an的最大值.
【答案】(1)a1=1,a2=2;(2)证明见解析;(3)n最小值为11,an的最大值1010
【解析】
(1)考虑元素1,2,结合新定义SA,可得所求值;
(2)从两个方面证明,结合等差数列的性质和求和公式,即可得证;
(3)由于含有n个元素的非空子集个数有2n﹣1,讨论当n=10时,n=11时,结合条件和新定义,推理可得所求.
(1)由条件知1≤SA,必有1∈A,又a1<a2<…<an均为整数,a1=1,
2≤SA,由SA的定义及a1<a2<…<an均为整数,必有2∈A,a2=2;
(2)证明:必要性:由“a1,a2,…,an成等差数列”及a1=1,a2=2,
得ai=i(i=1,2,…,n)此时A={1,2,3,…,n}满足题目要求,
从而;
充分性:由条件知a1<a2<…<an,且均为正整数,可得ai≥i(i=1,2,3,…,n),
故,当且仅当ai=i(i=1,2,3,…,n)时,上式等号成立.
于是当时,ai=i(i=1,2,3,…,n),从而a1,a2,…,an成等差数列.
所以“a1,a2,…,an成等差数列”的充要条件是“”;
(Ⅲ)由于含有n个元素的非空子集个数有2n-1,故当n=10时,210﹣1=1023,
此时A的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m,不符合要求.
而用11个元素的集合A={1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024}的非空子集的元素之和
可以表示1,2,3,…,2046,2047共2047个正整数.
因此当SA=2020时,n的最小值为11.
记S10=a1+a2+…+a10,则S10+a11=2020并且S10+1≥a11.
事实上若S10+1<a11,2020=S10+a11<2a11,则a11>1010,S10<a11<1010,
所以m=1010时无法用集合A的非空子集的元素之和表示,与题意不符.
于是2020=S10+a11≥2a11﹣1,得,
,所以a11≤1010.
当a11=1010时,A={1,2,4,8,16,32,64,128,256,499,1010}满足题意,
所以当SA=2020时,n的最小值为11,此时an的最大值1010.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,离心率为
,过
作直线
与椭圆
交于
,
两点,
的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)问:的内切圆面积是否有最大值?若有,试求出最大值;若没有,说明理由.
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【题目】在“挑战不可能”的电视节目上,甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动,规则是由密码专家给出题目,然后由个人依次出场解密,每人限定时间是
分钟内,否则派下一个人.
个人中只要有一人解密正确,则认为该团队挑战成功,否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况,抽取了甲
次的测试记录,绘制了如下的频率分布直方图.
(1)若甲解密成功所需时间的中位数为,求
、
的值,并求出甲在
分钟内解密成功的频率;
(2)在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力,甲,乙,丙解密成功的概率分别为,其中
表示第
个出场选手解密成功的概率,并且
定义为甲抽样中解密成功的频率代替,各人是否解密成功相互独立.
①求该团队挑战成功的概率;
②该团队以从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密,求团队挑战成功所需派出的人员数目
的分布列与数学期望.
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【题目】某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:
如果:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率.
(1)从产品中随机抽取件,合格品的个数为
,求
的分布列与期望:
(2)为了提高产品合格率,现提出,
两种不同的改进方案进行试验,若按
方案进行试验后,随机抽取
件产品,不合格个数的期望是
:若按
方案试验后,抽取
件产品,不合格个数的期望是
,你会选择哪个改进方案?
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【题目】已知数列的前
项和
满足
,数列
满足
.
Ⅰ
求数列
和数列
的通项公式;
Ⅱ
令
,若
对于一切的正整数
恒成立,求实数
的取值范围;
Ⅲ
数列
中是否存在
,且
使
,
,
成等差数列?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】自2017年7月27日上映以来,《战狼2》的票房一路高歌猛进,并不断刷新华语电影票房纪录.继8月25日官方宣布冲破53亿票房之后,根据外媒Worldwide Box Office给出的2017年周末全球票房最新排名,《战狼2》以8.151亿美元(约54.18亿元)的成绩成功杀入前五.通过收集并整理了《战狼2》上映前两周的票房(单位:亿元)数据,绘制出下面的条形图.根据该条形图,下列结论错误的是( )
A.在《战狼2》上映前两周中,前四天票房逐日递增
B.在《战狼2》上映前两周中,日票房超过2亿元的共有12天
C.在《战狼2》上映前两周中,8月5日,8月6日达到了票房的高峰期
D.在《战狼2》上映前两周中,前五日的票房平均数高于后五日的票房平均数
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【题目】已知椭圆的左焦点为
,点
为椭圆的左、右顶点,点
是椭圆上一点,且直线
的倾斜角为
,
,已知椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆上异于
的两点,若直线
的斜率等于直线
斜率的
倍,求四边形
面积的最大值.
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【题目】设n为正整数,称n×n的方格表Tn的网格线的交点(共(n+1)2个交点)为格点.现将数1,2,……,(n+1)2分配给Tn的所有格点,使不同的格点分到不同的数.称Tn的一个1×1格子S为“好方格”,如果从2S的某个顶点起按逆时针方向读出的4个顶点上的数依次递增(如图是将数1,2,…,9分配给T2的格点的一种方式,其中B、C是好方格,而A、D不是好方格)设Tn中好方格个数的最大值为f(n).
(1)求f(2)的值;
(2)求f(n)关于正整数n的表达式.
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