Question

【题目】已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，分别过，作抛物线的切线，两切线交于点.

（1）若直线变动时，点始终在以为直径的圆上，求动点的轨迹方程；

（2）设圆，若直线与圆相切于点（点在线段上）.是否存在点使得？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；点

【解析】

（1）利用导数可求得切线的方程，进而得到，由可求得，进而得到轨迹方程；

（2）设直线方程为，与抛物线方程联立，利用可求得；根据直线与圆相切可求得，进而得到方程，确定点坐标.

（1）设点，，，

由得：，，

切线方程为：，即；

切线方程为：，即；

，，两式消去得：，

始终在以为直径的圆上，，，，

点的轨迹方程为.

（2）由题意可知：直线斜率存在，设直线方程为：，

直线与圆相切，，即，

设点，，

由得：，则，，

，，，解得：，

，直线方程为：，，

即存在点，使得.