Question

【题目】已知抛物线的焦点为，直线，过点且与抛物线分别交于点和点，弦和的中点分别为，若，则下列结论正确的是

（______________）

①的最小值为32

②以四点为顶点的四边形的面积的最小值为128

③直线过定点

④焦点可以同时为弦和的三等分点

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

依题意得直线的斜率均存在，设，，直线，把直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线的定义分别求出的表达式，利用基本不等式求最值即可判断①；求出四边形面积的表达式，利用基本不等式求最值即可判断②；表示出坐标，进而得到直线的方程即可判断③；假设点为弦的三等分点，不妨设，利用平面向量的坐标表示进行求解，根据能否推出矛盾判断④即可.

依题意得直线的斜率均存在，且，

设，，直线，

联立方程，整理可得，

所以，则，

因为，以代替可得，，

所以，

当且仅当时取等号，所以①正确；

因为，所以四边形的面积，

当且仅当时取等号，所以②正确；

因为，，

所以直线的方程为，

即，恒过定点，故③正确；

若点为弦的三等分点，不妨设，

则，所以，

即，又，

解得（舍去），或，

代入，得，与两直线垂直矛盾，故④错误.

故答案为：①②③