Question

【题目】如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，或.

【解析】

（1）证明：四边形为矩形，，

又平面平面，平面平面，

平面.

取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

如图，则，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，

设平面的法向量，，，

，，，，2，，

由，取，得，0，，

又，2，，，，

又平面，平面；

（2），0，，，0，，，2，，，，，，0，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

设二面角的平面角为，

则，

二面角的正弦值.

（3）假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，

设，，，，则，，，，，

解得，，，，，，

平面的法向量，，，，，，

直线与平面所成角的正弦值为，

，

解得或，

，或.