Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知定点F（1，0），点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上运动，满足0，A关于点B的对称点为M，设点M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程；

（2）已知点G（3，﹣2），动直线x＝t（t＞3）与C相交于P，Q两点，求过G，P，Q三点的圆在直线y＝﹣2上截得的弦长的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设A（a，0），B（0，b），M（x，y），运用向量的数量积的坐标表示和中点坐标公式，结合代入法，化简可得所求曲线C的方程；

（2）设P（t，2），Q（t，﹣2），设E（m，0），由|EG|＝|EP|，运用两点的距离公式，求得圆E的方程，再令y＝﹣2，求得圆在直线y＝﹣2上截得的弦长，结合基本不等式，即可得到所求最小值.

（1）设A（a，0），B（0，b），M（x，y），

由点F（1，0），0，所以，

又B为AM的中点，

所以0，b，所以a＝﹣x，

将代入可得

所以C的方程为；

（2）由（1）可得抛物线C的方程为，令x＝t，可得，

设P（t，2），Q（t，﹣2），由P，Q关于x轴对称，

所以过G，P，Q三点的圆E的圆心在x轴上，

设E（m，0），由|EG|＝|EP|，G（3，﹣2），

可得，

化简整理可得m，

圆E的方程为

令y＝﹣2，可得

所以圆E在直线y＝﹣2上截得的弦长为

又因为且

所以，

所以，

当且仅当即时取得等号.

所以当t＝3+2时，圆E在直线y＝﹣2上截得的弦长的最小值为4+4.