Question

（2012•台州一模）在直角△ABC中，AB=2，AC=1，点E，F分别在直角边AB，AC上（不含端点），把△AEF绕直线EF旋转，记旋转后A的位置为A'，则四棱锥A'-BEFC的体积的最大值为

2 3

27

．

Answer 1

分析：根据已知条件，判断出当平面AEF旋转到与平面BEFC垂直的位置时四棱锥A'-BEFC的高最大，

解答：解：设AE=x，AF=y，则四边形BEFC的面积S=1-

1

2

•xy，
四棱锥A'-BEFC的高h=

xy

x2+y2

四棱锥A'-BEFC的体积V=

1

3

×(1-

1

2

•xy)×

xy

x2+y2

≤

1

3

×(1-

1

2

•xy)×

xy

2

=

2

6

×(1-

1

2

•xy)×

xy

（当x=y时等号成立）
假设

xy

=t，则0＜t＜

2

，
则f（t）=

2

6

(1-

1

2

t2)t=-

2

12

t3+

2

6

t
故f′(t)=-

2

4

t2+

2

6

=0，即t²=

2

3

时f（t）有最大值
此时四棱锥A'-BEFC的体积的最大值为V_max=

2

6

(1-

1

2

×

2

3

)×

2 3

=

2 3

27

故答案为

2 3

27

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，其中正确由AE和AF的长度，得到体积，以及利用导数求出最值，是解答本题的关键．