Question

如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：
①f（x）=sinxcosx； 
②f（x）=

2

sin2x+1；
③f（x）=2sin（x+

π

4

）；       
④f（x）=sinx+

3

cosx．
其中“同簇函数”的是（　　）

• A、①②
• B、①④
• C、②③
• D、③④

Answer 1

分析：由于f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），再根据函数图象的平移变换规律，可得它与f（x）=2sin（x+

π

4

）的图象间的关系．而其余的两个函数的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横坐标（或纵坐标）的伸缩变换，故不是“同簇函数”．

解答：解：由于①f（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x 与②f（x）=

2

sin2x+1的图象仅经过平移没法重合，还必须经过纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．
由于①f（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x 与④f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

）的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．
②f（x）=

2

sin2x+1与③f（x）=2sin（x+

π

4

） 的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．
由于④f（x）=sinx+

3

cosx=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2sin（x+

π

3

），
故把③f（x）=2sin（x+

π

4

）的图象向左平移

π

12

，可得f（x）=2sin（x+

π

3

） 的图象，
故③和④是“同簇函数”，
故选：D．

点评：本题主要考查行定义，函数图象的平移变换规律，属于基础题．