Question

【题目】直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A、B两点．若线段AB的中点为P，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：解法一：设A(x0 ， y0)，由中点公式，有B(－x0 ， 2－y0)，∵A在l1上，B在l2上，∴ ∴kAP＝ ，
故所求直线l的方程为y＝ x＋1，即x＋4y－4＝0.
解法二：设所求直线l方程为y＝kx＋1，
由方程组 ，
由方程组 ，
∵A、B的中点为P(0,1)，∴ ，∴k＝ .
故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
解法三：设A(x1 ， y1)、B(x2 ， y2)，P(0,1)为MN的中点，则有 代入l2的方程，得2(－x1)＋2－y1－8＝0，即2x1＋y1＋6＝0.由方程组 解得 由两点式可得所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
解法四：同解法一，设A(x0 ， y0)， 两式相减得x0＋4y0－4＝0，(1)
考察直线x＋4y－4＝0，一方面由(1)知A(x0 ， y0)在该直线上；另一方面P(0,1)也在该直线上，从而直线x＋4y－4＝0过点P、A．根据两点决定一条直线知，所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
【解析】设出点A的坐标，由中点坐标公式求出另一点B的坐标，分别代入两直线方程中，求出点A有坐标，得解。