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    定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
    （1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；
    （2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
    （3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x的取值范围．
    【答案】分析：（1）先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；
    （2）先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；
    （3）先根据定义得到函数f（x）取得最大值时对应的自变量x；再结合几何意义求出的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论．
    解答：解：（1）g（x）=3sin（x+）+4sinx=4sinx+3cosx，
    其‘相伴向量’=（4，3），g（x）∈S．
    （2）h（x）=cos（x+α）+2cosx
    =（cosxcosα-sinxsinα）+2cosx
    =-sinαsinx+（cosα+2）cosx
    ∴函数h（x）的‘相伴向量’=（-sinα，cosα+2）．
    则||==．
    （3）的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=sin（x+φ），
    其中cosφ=，sinφ=．
    当x+φ=2kπ+，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x=2kπ+-φ，k∈Z．
    ∴tanx=tan（2kπ+-φ）=cotφ=，
    tan2x===．
    为直线OM的斜率，由几何意义知：∈[-，0）∪（0，]．
    令m=，则tan2x=，m∈[-，0）∪（0，}．
    当-≤m＜0时，函数tan2x=单调递减，∴0＜tan2x≤；
    当0＜m≤时，函数tan2x=单调递减，∴-≤tan2x＜0．
    综上所述，tan2x∈[-，0）∪（0，]．
    点评：本体主要在新定义下考查平面向量的基本运算性质以及三角函数的有关知识．是对基础知识的综合考查，需要有比较扎实的基本功．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列四个命题：
    ①“向量
    a
    ，
    b
    的夹角为锐角”的充要条件是“
    a
    •
    b
    ＞0”；
    ②如果f（x）=lgx，则对任意的x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有f（
    x1+x2
    2
    ）＞
    f(x1)+f(x2)
    2
    ；
    ③设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”．若f（x）=x2-3x+4与g（x）=2x-3在[a，b]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是[2，3]；
    ④记函数y=f（x）的反函数为y=f-1（x），要得到y=f-1（1-x）的图象，可以先将y=f（x）的图象关于直线y=x做对称变换，再将所得的图象关于y轴做对称变换，再将所得的图象沿x轴向左平移1个单位，即得到y=f-1（1-x）的图象．
    其中真命题的序号是
     
    ．（请写出所有真命题的序号）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义向量的运算
    a
    ?
    b
    =|
    a
    |•|
    b
    |•sin＜
    a
    ，
    b
    ＞（其中＜
    a
    ，
    b
    ＞为向量
    a
    ，
    b
    的夹角），设
    OA
    ，
    OB
    为非零向量，则下列说法正确的是
    ①②④
    ①②④
    ．
    ①
    OA
    ?
    OB
    是非负实数；
    ②若向量
    OA
    ，
    OB
    共线，则有
    OA
    ?
    OB
    =0；
    ③若向量
    OA
    ，
    OB
    垂直，则有
    OA
    ?
    OB
    =0；
    ④若O，A，B能构成三角形，则三角形面积SOAB=
    1
    2
    OA
    ?
    OB
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义向量⊕运算：
    a
    ⊕
    b
    =
    c
    ，若
    a
    =（a1，a2），
    b
    =（b1，b2），则向量
    c
    =（a1b1，a2b2）．已知
    m
    =（
    1
    2
    ，2    ），
    n
    =（
    π
    6
    ，0    ），且点P（x，y）在函数y=cos2x的图象上运动，点Q在函数y=f（x）的图象上运动，且点P和点Q满足：
    OQ
    =
    m
    ⊕
    OP
    +
    n
    （其中O为坐标原点），则函数y=f（x）的最大值A及最小正周期T分别为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义：对于映射f：A→B，如果A中的不同元素有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，则称f：A→B为一一映射．如果存在对应关系φ，使A到B成为一一映射，则称A和B具有相同的势．给出下列命题：
    ①A={奇数}，B={偶数}，则A和B 具有相同的势；
    ②A是直角坐标系平面内所有点形成的集合，B是复数集，则A和B 不具有相同的势；
    ③若A={
    a
    ，
    b
    }，其中
    a
    ，
    b
    是不共线向量，B={
    c
    |
    c
    与
    a
    ，
    b
    共面的任意向量}，则A和B不可能具有相同的势；
    ④若区间A=（-1，1），B=（-∞，+∞），则A和B具有相同的势．
    其中真命题为
    ①③④
    ①③④
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•上海）定义向量
    OM
    =（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为
    OM
    =（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
    （1）设g（x）=3sin（x+
    π
    2
    ）+4sinx，求证：g（x）∈S；
    （2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
    （3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）2+y2=1上一点，向量
    OM
    的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．

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