Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为Aa，b，c，且满足$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{\sqrt{3}cosA}$
（1）若4sinC=c²sinB，求△ABC的面积；
（2）若$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{A{B}^{2}}$=4，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理和同角的商数关系，即可得到角A，再由三角形的面积公式，计算即可得到；
（2）运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，由余弦定理和基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：（1）由正弦定理，可得
$\frac{sinC}{sinC}$=$\frac{sinA}{\sqrt{3}cosA}$=1，
即有tanA=$\sqrt{3}$，
由0＜A＜π，可得A=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理可得4c=bc²，即有bc=4，
△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$；
（2）$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{A{B}^{2}}$=4，
可得c²-accosB=4，
由余弦定理，可得2c²-（a²+c²-b²）=8，
即b²+c²-a²=8，
又a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，
即有bc=8，
由a²=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc=8，
当且仅当b=c时，a取得最小值，且为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，考查向量的数量积的定义和性质，以及基本不等式的运用：求最值，属于中档题．