Question

6．求出函数y=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x的最小正周期及单调区间．

Answer 1

分析 首先，借助于辅助角公式化简所给函数的解析式，然后，结合三角函数的基本性质，确定其周期和单调区间．

解答 解：y=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{5π}{6}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{6}$+2kπ，
∴-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴该函数的增区间为：[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，（k∈Z），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{6}$+2kπ≤2x≤$\frac{7π}{6}$+2kπ，
∴$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{7π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴该函数的减区间为：[$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{7π}{12}$+kπ]，（k∈Z），

点评 本题重点考查了辅助角公式、三角函数的周期性和单调性，属于中档题．