Question

【题目】设函数fk（x）=xk+bx+c（k∈N* ， b，c∈R），g（x）=logax（a＞0，a≠1）．
（1）若b+c=1，且fk（1）=g（ ），求a的值；
（2）若k=2，记函数fk（x）在[﹣1，1]上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m≤4时的b的取值范围；
（3）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]满足等式：g（x1）+g（x2）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵b+c=1，且f（1）=g（ ），∴1+b+c= ，∴a=
（2）解：k=2时，f（x）=x2+bx+c，所以

当对称轴x=﹣ ≤﹣1，即b≥2时，M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣1）=1﹣b+c，M﹣m=2b≤4，解得b≤2，∴b=2．

当对称轴﹣1＜﹣ ≤0，即0≤b＜2时，M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣ ）=c﹣ ，M﹣m=b+1+ ≤4，解得﹣6≤b≤2，∴0≤b＜2．

当对称轴0＜﹣ ＜1，即﹣2≤b＜0时，M=f（﹣1）=1﹣b+c，m=f（﹣ ）=c﹣ ，M﹣m=1﹣b+ ≤4，解得﹣2≤b≤6，∴﹣2＜b＜0．

当对称轴﹣ ≥1，即b≤﹣2时，M=f（﹣1）=1﹣b+c，m=f（1）=1+b+c，M﹣m=﹣2b≤4，解得b≥﹣2，∴b=﹣2．

综上所述：b的取值范围是﹣2≤b≤2

（3）解：将等式g（x1）+g（x2）=p变形得g（x1）=p﹣g（x2），由任意实数x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]得到[logaa，loga（2a）][p﹣ ，p﹣logaa]，

即[1，1+loga2][p﹣2，p﹣1]，

∴ ，解得2+loga2=3，∴a=2

【解析】（1）代入得到关于a的方程解之；（2）k=2，说明函数是二次函数，讨论对称轴x=﹣ 与区间的位置关系，确定最值，得到关于b的方程，解之；（3）将等式g（x1）g（x2）=p变形得g（x1）=p﹣g（x2），由x1 ， x2的范围，得到g（x1）、g（x2）的范围，利用对任意实数x1∈[a，2a]，
都有x2∈[a，a2]得到[logaa，loga（2a）][p﹣ ，p﹣logaa]解得即可．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．