Question

已知：抛物线y²=4x，直线l过定点Q（2，0）．
（Ⅰ）已知直线l与x轴不垂直且与抛物线交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（m，0），使得直线AE与直线BE的倾斜角互补，求E点的坐标；
（Ⅱ）已知直线l与x轴垂直，抛物线的一条切线与y轴和直线l分别交于M、N两点，自点M引以QN为直径的圆的切线，切点为T，证明：|MT|为定值，并求出该定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设直线方程为y=k（x-2），代入y²=4x，得y²-

4

k

-y-8=0，由直线AE与直线BE的倾斜角互补，得-2（y₁+y₂）-m（y₁+y₂）=0，由此能求出E（-2，0）．
（2）设切点P（x₀，y₀）由对称性不妨设y₀＞0，切线方程为：y-y0=

1

x0

(x-x0)，且y₀=2

x0

，切线与y轴的交点为M（0，

x0

），又切线与直线l交点N（2，

x0

+

2

x0

），由此能证明|MT|=

2

为定值．

解答： （Ⅰ）解：∵l与x轴不垂直，设直线方程为y=k（x-2），
代入y²=4x，得y2=(

y

k

+2)×4，即y²-

4

k

-y-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

4

k

，y₁y₂=-8，
∵直线AE与直线BE的倾斜角互补，
k_AE+k_BE=0，
∴

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0，
∴y₁x₂+y₂x₁-m（y₁+y₂）=0，
即y1•

y22

4

+y2•

y12

4

-m(y1+y2)=0，
整理，得-2（y₁+y₂）-m（y₁+y₂）=0，
∴（m+2）•

4

k

=0，∴m=-2，
即E（-2，0）．
（Ⅱ）证明：设切点P（x₀，y₀）由对称性不妨设y₀＞0，
则抛物线切线的斜率k=（2

x

）′| x=x0=

1

x0

，
∴切线方程为：y-y0=

1

x0

(x-x0)，且y₀=2

x0

，
令x=0，∴y=y₀-

x0

=2

x0

-

x0

=

x0

，
∴切线与y轴的交点为M（0，

x0

），
又切线与直线l交点N，
令x=0，则y=y₀+

2

x0

-x₀=

x0

+

2

x0

，
∴N（2，

x0

+

2

x0

），
则以ON为直径的圆的圆心O′（2，

x0

2

+

1

x0

），
半径r=

x0

2

+

1

x0

，
|MT|²=|MO|²-r²=4+（

1

x0

+

x0

2

）²-（

x0

2

+

1

x0

）²=4，
∴|MT|=

2

为定值．

点评：本题考查点E的坐标的求法，考查线段长为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．