Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点F与抛物线y²=-4x的焦点重合，直线x-y+

2

2

=0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．
（1）求该椭圆C的方程；
（2）过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S₁，△OED的面积为S₂．试问：是否存在直线AB，使得S₁=S₂？说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得c=1，

c

a

=

1

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）假设存在直线AB，使得S₁=S₂，由题意知直线AB不能与x，y垂直，直线AB的斜率存在，设其方程为y=k（x+1），将其代入

x2

4

+

y2

3

=1，整整，得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，由此利用直线垂直、三角形相似、弦长公式等知识点推导出8k²+9=0，无解，从而得以不存在直线AB，使得S₁=S₂．

解答： 解：（1）依题意，得c=1，e=

|0-0+ 2 2 |

2

=

1

2

，
即

c

a

=

1

2

，∴a=2，∴b=1，
∴所求椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
（2）假设存在直线AB，使得S₁=S₂，由题意知直线AB不能与x，y垂直，
∴直线AB的斜率存在，设其方程为y=k（x+1），
将其代入

x2

4

+

y2

3

=1，整整，得：
（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

-8k2

4k2+3

，y1+y2=

6k

4k2+3

，
∴G（

-4k2

4k2+3

，

3k

4k2+3

），∵DG⊥AB，
∴

3k 4k2+3

-4k2 4k2+3

×k=-1，
解得xD=

-k2

4k2+3

，即D（

-k2

4k2+3

，0），
∵△GFD∽△OED，∴

|GF|

|OE|

=

|DG|

|OD|

，∴

|GF|

|OE|

•

|DG|

|OD|

=(

|DG|

|OD|

)2，
即

S1

S2

=(

|DG|

|OD|

)2，
又∵S₁=S₂，∴|GD|=|OD|，（11分）
∴

( -k2 4k2+3 - -4k2 4k2+3 )2+( 3k 4k2+3 )2

=|

-k2

4k2+3

|，
整理得8k²+9=0，∵此方程无解，
∴不存在直线AB，使得S₁=S₂．（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．