Question

【题目】已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，抛物线C上一点到焦点F的距离为．

Ⅰ求抛物线C的标准方程；

Ⅱ设点，过点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，记直线MA与直线MB的斜率分别为，，证明：为定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

Ⅰ设抛物线C的标准方程为，利用抛物线的定义求出p的值，即可得出抛物线C的标准方程；Ⅱ设直线ll的方程为，设点、，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式并代入韦达定理可计算出的值，从而证明结论成立．

Ⅰ由题意，可设抛物线C：，焦点，则，解得，

因此，抛物线C的标准方程为；

Ⅱ证明：设过点的直线l：，设点、，

联立，消去x，得，

，由韦达定理可得，．

，

因此，为定值．