Question

【题目】设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线．

求曲线的方程；

已知直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为，设，证明：直线过定点，并求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）点在圆上运动，引起点的运动，我们可以由，得到点和点坐标之间的关系式，并由点的坐标满足圆的方程得到点坐标所满足的方程；

（2）设，，则，联立，得韦达定理，利用直线的斜率，求直线的方程，即可直线过定点，并求出面积的最大值．

解：设，，，在直线上，

，

点在圆上运动，

将式代入式即得曲线的方程为．

证明：设，，则，

联立，得，

，．

直线的斜率，

直线的方程为

令，得，

直线过定点

面积，

当且仅当，即时取等号，

面积的最大值为．