Question

已知函数f(x)=x+

9

x-3

(x＞3)
（I）求函数f（x）的最小值；
（II）若不等式f(x)≥

t

t+1

+7恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将f（x）=x+

9

x-3

（x＞3）转化为f（x）=x-3+

9

x-3

+3（x＞3），应用基本不等式即可求得函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得f（x）_min=9，不等式f(x)≥

t

t+1

+7恒成立，转化为9≥

t

t+1

+7恒成立，从而求得实数t的取值范围．

解答：解：（I）∵x＞3，
∴x-3＞0．
∴f(x)=x+

9

x-3

=x-3+

9

x-3

+3≥2

(x-3)• 9 x-3

+3=9．…（3分）
当且仅当x-3=

9

x-3

即（x-3）²=9时上式取得等号，
又∵x＞3，
∴x=6，…（5分）
∴当x=6时，函数f（x）的最小值是9．…（6分）
（II）由（I）知，当x＞3时，f（x）的最小值是9，
要使不等式f(x)≥

t

t+1

+7恒成立，只需9≥

t

t+1

+7…（9分）
∴

t

t+1

-2≤0即

-t-2

t+1

≤0
解得t≤-2或t＞-1
∴实数t的取值范围是（-∞，-2]∪（-1，+∞）．…（12分）

点评：本题考查基本不等式，关键在于将所给的条件转化为能用基本不等式的式子，难点在于（Ⅱ）中不等式f(x)≥

t

t+1

+7恒成立，转化为9≥

t

t+1

+7恒成立，属于难题．