Question

1．在平面直角坐标系xOy中，若曲线f（x）=sinx+$\sqrt{3}$acosx（a为常数）在点（$\frac{π}{3}$，f（$\frac{π}{3}$））处的切线与直线2x+3y+1=0垂直，则a的值为-$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 求出导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得a的值．

解答 解：f（x）=sinx+$\sqrt{3}$acosx的导数为f′（x）=cosx-$\sqrt{3}$asinx，
在点（$\frac{π}{3}$，f（$\frac{π}{3}$））处的切线斜率为cos$\frac{π}{3}$-$\sqrt{3}$asin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$a，
由切线与直线2x+3y+1=0垂直，
可得$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$a=$\frac{3}{2}$，
解得a=-$\frac{2}{3}$．
故答案为：-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于中档题．