Question

（2012•德阳三模）半径为1的球面上有A、B、C三点，其中点A与B，C两点间的球面距离均为

π

2

，B、C两点间的对面距离为

π

3

，则球心到平面ABC的距离为

21

7

．

Answer 1

分析：根据题意可知：球心O与A，B，C三点构成三棱锥O-ABC，且OA=OB=OC=R=1，∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，故AO⊥面BOC．所以此题可以根据体积法求得球心O到平面ABC的距离．

解答：解：球心O与A，B，C三点构成三棱锥O-ABC，如图所示，
已知OA=OB=OC=R=1，∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，
由此可得AO⊥面BOC．
∵OA=OB=OC=1，
∴AB=AC=

2

，BC=1，
∴S_△OBC=

3

4

，S_△ABC=

7

4

根据V_0-ABC=V_A-OBC得

1

3

•

3

4

•1=

1

3

•

7

4

•d，
∴d=

21

7

，球心到截面ABC的距离为

21

7

，
故答案为：

21

7

．

点评：本小题主要考查球面距离及相关计算、点到面的距离、三棱锥的结构等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．