Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c均为实数），满足a-b+c=0，对于任意实数x 都有f （x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，有f （x）≤(

x+1

2

)2．
（1）求f （1）的值；
（2）证明：ac≥

1

16

；
（3）当x∈[-2，2]且a+c取得最小值时，函数F（x）=f （x）-mx （m为实数）是单调的，求证：m≤-

1

2

或m≥

3

2

．

Answer 1

分析：（1）根据x≤f （x）≤(

x+1

2

)2，令x=1，得到1≤f （1）≤(

1+1

2

)2，进而确定f（1）的值．
（2）由a-b+c=0及f （1）=1得b=a+c=

1

2

，则f（x）-x≥0，即ax²-

1

2

x+c≥0，只需满足a＞0且△≤0．从而得出ac≥

1

16

；
（3）a+c取得最小值时，a=c=

1

4

，，F（x）=f（x）-mx=

1

4

[x²+（2-4m）x+1]．由f（x）是单调的，F（x）的顶点一定在[-2，2]的外边．推出|

2-4m

2

|≥2，解得m的范围即可．

解答：解：（1）∵对于任意x∈R，都有f（x）-x≥0，且当x∈（0，2）时，
有f（x）≤(

x+1

2

)2．令x=1
∴1≤f（1）≤(

1+1

2

)2．
即f （1）=1．
（2）由a-b+c=0及f （1）=1．
有

a-b+c=0 a+b+c=1

，可得b=a+c=

1

2

．
又对任意x，f（x）-x≥0，即ax²-

1

2

x+c≥0．
∴a＞0且△≤0．
即

1

4

-4ac≤0，解得ac≥

1

16

．
（3）由（2）可知a＞0，c＞0．
a+c≥2

ac

≥2•

1 16

=

1

2

．
当且仅当

a=c a+c= 1 2

时等号成立．此时
a=c=

1

4

．
∴f （x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

，
F （x）=f （x）-mx=

1

4

[x²+（2-4m）x+1]．
当x∈[-2，2]时，f （x）是单调的，所以F （x）的顶点一定在[-2，2]的外边．
∴|

2-4m

2

|≥2．
解得m≤-

1

2

或m≥

3

2

．

点评：本题考查了二次函数的性质，函数的恒成立问题，以及不等式的证法，属于中档题．