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探究函数f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)
的最小值,并确定取得最小值时x的值.
列表如下:
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57
请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.
函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
在区间(0,2)上递减;
函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
在区间
(2,+∞)
(2,+∞)
上递增.
当x=
2
2
时,y最小=
4
4

证明:函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
在区间(0,2)递减.
思考:
(1)函数f(x)=x+
4
x
(x<0)
时,有最值吗?是最大值还是最小值?此时x为何值?(直接回答结果,不需证明)
(2)函数f(x)=x+
k
x
(x>0,k>0)时有最值吗?
是最大值还是最小值?此时x为何值?(直接回答结果,不需证明)
分析:由表格可知函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
在(2,+∞)上递增;当x=2时,y最小=4,证明单调性可用定义法;思考题两步可由图象结合基本不等式的结论可得答案.
解答:解:由表格可知函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
在(2,+∞)上递增;当x=2时,y最小=4
证明:设x1,x2是区间,(0,2)上的任意两个数,且x1<x2
f(x1)-f(x2)=x1+
4
x1
-(x2+
4
x2
)=x1-x2+
4
x1
-
4
x2
=(x1-x2)(1-
4
x1x2
)
=
(x1-x2)(x1x2-4)
x1x2

∵x1<x2,∴x1-x2<0
又∵x1,x2∈(0,2),∴0<x1x2<4,∴x1x2-4<0,∴y1-y2>0
∴函数在(0,2)上为减函数.
思考:(1)y=x+
4
x
,x∈(-∞,0)时,x=-2时,y最大=-4


(2)函数f(x)=x+
k
x
(x>0,k>0)时有最小值
,此时x=
k
,y最小=2
k
点评:本题为函数的单调性及最值得求解,观察图表结合基本不等式是解决问题的关键,属中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

探究函数f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)
的最小值,并确定取得最小值时x的值.列表如下:
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57
请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.
(1)函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
在区间(0,2)上递减,函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
在区间
 
上递增;
(2)函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
,当x=
 
时,y最小=
 

(3)函数f(x)=x+
4
x
(x<0)
时,有最值吗?是最大值还是最小值?此时x为何值?(直接回答结果,不需证明)

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

探究函数f(x)=2x+
8
x
,x∈(0,+∞)
的最小值,并确定取得最小值时x的值.列表如下:
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 16 10 8.34 8.1 8.01 8 8.01 8.04 8.08 8.6 10 11.6 15.14
请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.
(1)函数f(x)=2x+
8
x
(x>0)
在区间(0,2)上递减;函数f(x)=2x+
8
x
(x>0)
在区间
(2,+∞)
(2,+∞)
上递增.当x=
2
2
时,y最小=
4
4

(2)证明:函数f(x)=2x+
8
x
(x>0)
在区间(0,2)递减.
(3)思考:函数f(x)=2x+
8
x
(x<0)
时,有最值吗?是最大值还是最小值?此时x为何值?(直接回答结果,不需证明)

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科目:高中数学 来源: 题型:

观察下列表格,探究函数f(x)=x+
4
x
,x∈(0,+∞)
的性质,
x 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57
(1)请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题.
函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
在区间(0,2)上递减;
函数f(x)=x+
4
x
(x>0)
在区间
(2,+∞)
(2,+∞)
上递增.
当x=
2
2
时,y最小=
4
4

(2)证明:函数f(x)=x+
4
x
在区间(0,2)递减.
(3)函数f(x)=x+
4
x
(x<0)
时,有最值吗?是最大值还是最小值?此时x为何值?(直接回答结果,不需证明)

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科目:高中数学 来源:徐州模拟 题型:解答题

设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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