Question

已知椭圆

x2

4

+y2=1的左、右两个顶点分别为A，B，直线x=t（-2＜t＜2）与椭圆相交于M，N两点，经过三点A，M，N的圆与经过三点B，M，N的圆分别记为圆C₁与圆C₂．
（1）求证：无论t如何变化，圆C₁与圆C₂的圆心距是定值；
（2）当t变化时，求圆C₁与圆C₂的面积的和S的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题设知A的坐标（-2，0），B的坐标（2，0），M的坐标(t，

4-t2

2

)，N的坐标(t，-

4-t2

2

)，线段AM的中点P(

t-2

2

，

4-t2

4

)，由此能够推导出无论t如何变化，为圆C₁与圆C₂的圆心距是定值．
（2）圆C₁的半径为|AC₁|=

3t+10

8

，圆C₂的半径为|BC2|=

10-3t

8

，则S=π|AC1|2+π|BC2|2=

π

32

(9t2+100)（-2＜t＜2）
由此能够求出圆C₁与圆C₂的面积的和S的最小值．

解答：解：（1）易得A的坐标（-2，0），B的坐标（2，0），
M的坐标(t，

4-t2

2

)，N的坐标(t，-

4-t2

2

)，线段AM的中点P(

t-2

2

，

4-t2

4

)，
直线AM的斜率k1=

4-t2 2

t+2

=

1

2

2-t 2+t

（3分）
又PC₁⊥AM，∴直线PC₁的斜率k2=-2

2+t 2-t

∴直线PC₁的方程y=-2

2+t 2-t

(x-

t-2

2

)+

4-t2

4

，∴C₁的坐标为(

3t-6

8

，0)
同理C₂的坐标为(

3t+6

8

，0)（7分）∴|C1C2|=

3

2

，
即无论t如何变化，为圆C₁与圆C₂的圆心距是定值．（9分）
（2）圆C₁的半径为|AC₁|=

3t+10

8

，圆C₂的半径为|BC2|=

10-3t

8

，
则S=π|AC1|2+π|BC2|2=

π

32

(9t2+100)（-2＜t＜2）
显然t=0时，S最小，Smin=

25π

8

．（14分）

点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．