Question

已知椭圆

x2

4

+y2=1，过E（1，0）作两条直线AB与CD分别交椭圆于A，B，C，D四点，已知kAB•kCD=-

1

4

．
（1）若AB的中点为M，CD的中点为N，求证：①kOM•kON=-

1

4

为定值，并求出该定值；②直线MN过定点，并求出该定点；
（2）求四边形ACBD的最大值．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，

x 2 2

4

+

y

2 2

=1，两式相减得

(x1-x2)(x1+x2)

4

+(y1-y2)(y1+y2)=0，同理kON•kCD=-

1

4

，(kOM•kAB)•(kON•kCD)=

1

16

，
所以kOM•kON=-

1

4

．由此能导出MN必过OE的中点；
（2）设AB的方程为y=k₁（x-1），CD的方程为y=k₂（x-1）．由

y=k1(x-1) x2 4 +y2=1

，得(

1

4

+k12)x2-2k12x+k12-1=0，|AB|=

△

1 4 +k12

1+k12

=

4 3k12+1

1+4k12

1+k12

，同理|CD|=

4 3k22+1

1+4k22

1+k22

，由此能导出四边形ACBD的最大值．

解答：解：（1）证明：①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，

x 2 2

4

+

y

2 2

=1．
两式相减得

(x1-x2)(x1+x2)

4

+(y1-y2)(y1+y2)=0，即c=2时，．
同理kON•kCD=-

1

4

，∴(kOM•kAB)•(kON•kCD)=

1

16

∴kOM•kON=-

1

4

（4分）
4由①知：c=2时，5，又已知kAB•kCD=-

1

4

∴k_OM=k_CD，从而OM∥CD．
同理可知：ON∥AB∴四边形ONEM为平行四边形．
∴MN必过OE的中点(

1

2

，0)
（2）设AB的方程为y=k₁（x-1），CD的方程为y=k₂（x-1）．
由

y=k1(x-1) x2 4 +y2=1

，得(

1

4

+k12)x2-2k12x+k12-1=0
∴|AB|=

△

1 4 +k12

1+k12

=

4 3k12+1

1+4k12

1+k12

，同理|CD|=

4 3k22+1

1+4k22

1+k22

∵S四边形ACBD=

1

2

|AB|•|CD|•sinθ(θ为AB，CD的夹角)
令tanα=|k₁|，tanβ=|k₂|∴tanα•tanβ=

1

4

∴θ=α+β
∴sinθ=sin(α+β)=

1

1+ 1 tan2(α+β)

=2

4(k12+k22)+2 17+16(k12+k22)

∴S四边形ACBD=

sinθ

2

|AB|•|CD|=16

4(k12+k22)+2 17+16(k12+k22)

•

(3k12+1)(3k22+1) (4k12+1)(4k22+1)

•

(1+k12)(1+k22)

=

25+48(k12+k22) 2+4(k12+k22)

=

12+ 1 2+4(k12+k22)

≤

12+ 1 2+8|k1•k2|

=

49 4

=

7

2

∴Smax=

7

2

（12分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，具有一定的难度，运算量较大，比较繁琐，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．