Question

【题目】已知椭圆E：x2+3y2=m2（m＞0）的左顶点是A，左焦点为F，上顶点为B．
（1）当△AFB的面积为 时，求m的值；
（2）若直线l交椭圆E于M，N两点（不同于A），以线段MN为直径的圆过A点，试探究直线l是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由椭圆方程： ，则a=m，b= ，c= ，

由三角形AFB的面积S，S= b×（b﹣c）= ，

则 （m﹣ ） ﹣ ，解得：m= ，

∴m的值为

（2）解：由线段MN过直径的圆过A点，则MA⊥NA，

设直线AM的斜率为k（k＞0），则直线AN的斜率为﹣ ，AM为y=k（x+m），

设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ，

整理得：（3k2+1）x2+6k2mx+（3k2﹣1）m2=0，

则x1（﹣m）= ，则x1= ，故y1=k（x1+m）= ，

则M（ ， ），

直线AN的方程为y=﹣ （x+m），同理可得：N（ ，﹣ ），

当l的斜率不存在时，显然可得k=1，此时M（﹣ ， ），N（﹣ ，﹣ ），

则圆心为P（﹣ ，0），

由直线l总穿过x轴，证明当l的斜率存在时，也过点P（﹣ ，0），

当l的斜率存在时，kPM= = =kPN（k＞0，k≠1），

综上可知：l过定点（﹣ ，0）

【解析】（1）将椭圆方程转化成标准方程，则三角形AFB的面积S= b×（b﹣c），代入即可求得m的值；（2）设直线AM的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得M和N的方程，当l的斜率不存在时，显然可得k=1，求得圆心为P（﹣ ，0），当l的斜率存在时，由利用两点的斜率公式求得kPM=kPN ， 直线l是否过定点．