Question

设a＞0，f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解方程f（x）=2．

Answer 1

考点：指数函数的单调性与特殊点,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）是R上的偶函数，满足f（-x）=f（x），可构造关于a的方程，解方程可得满足条件的a值；
（2）利用函数的单调性的定义证明即可，
（3）构造方程，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

ex

a

+

a

ex

是R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x）恒成立，
即

e-x

a

+

a

e-x

=）=

ex

a

+

a

ex

恒成立，
整理，得（a²-1）（e^2x-1）=0对任意实数x恒成立，
故a²-1=0，又∵a＞0，
∴a=1，
（2）设0＜x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（e^x1-e^x2）+（

1

ex1

-

1

ex2

）=（e^x2-e^x1）（

1

ex1+x2

-1），
∵函数y=e^x为增函数，y=e^-x为减函数，
∴e^x2-e^x1＞0，

1

ex1+x2

-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x）在（0，+∞）上是增函数，
（3）由方程f（x）=2，
得e^x+

1

ex

=2，
即e^2x-2e^x+1=0，
∴e^x=1=e⁰，
∴x=0，
故方程的根为x=0．

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质函数的单调性，属于基础题．