Question

已知定义域为R的函数f（x）=1-

2

3x+1

．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）证明：函数f（x）是奇函数；
（Ⅲ）判断函数f（x）在定义域上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：本题（Ⅰ）通过已知指数函数的值域求出函数f（x）的值域；（Ⅱ）通过函数奇偶性的定义证明函数f（x）是奇函数；（Ⅲ）利用函数单调性的定义和已知指数函数的单调性，证明函数f（x）在定义域上的单调递增，得到标题结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵3^x+1∈（1，+∞），
∴

2

3x+1

∈(0，2)．
∴f（x）的值域为（-1，1）．
（Ⅱ）证明：函数f（x）的定义域为R，图象关于原点对称，
∵f(-x)=1-

2

3-x+1

=1-

2•3x

1+3x

=1-

2(3x+1)-2

1+3x

=-1+

2

3x+1

=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（Ⅲ）f（x）是R上的增函数．
证明如下：任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

．
∵y=3^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2，即3x1-3x2＜0，
又∵（3 x1+1）（3 x2+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函数．

点评：本题考查了函数的值域、奇偶性、单调性，本题有一定的思维难度，运算量适中，属于中档题．