Question

给机器人输入一个指令（m，2^m+48）（m＞0），则机器人在坐标平面上先面向x轴正方向行走距离m，接着原地逆时针旋转90⁰再面向y轴正方向行走距离2^m+48，这样就完成一次操作．机器人的安全活动区域是：

x≤6 y∈R

，开始时机器人在函数f（x）=2^x图象上的点P处且面向x轴正方向，经过一次操作后机器人落在安全区域内的一点Q处，且点Q恰好也在函数f（x）图象上，则向量

PQ

的坐标是

 

Answer 1

分析：先将点P、Q设出，根据两点均在安全区域内可得到x₀+m≤6，然后根据题中所给关系，找到对应等式由基本不等式可确定其值．

解答：解：由题意可设P(x0，2x0)，则Q为(x0+m，2x0 +m)在安全区域，∴x₀+m≤6
∴x₀≤6-m∴2x0≤26-m
又因为2x0+m=2x0+2m+48∴2x0(2m-1)=2m+48
2^6-m（2^m-1）≥2^m+48
整理可得：2m+

64

2m

≤16
又因为2m+

64

2m

≥2• 

2m• 64 2m

=16当2m=

64

2m

成立时等号取到．
∴m=3

PQ

=(x0+m，2x0 +m)-P(x0，2x0)=（3，56）
故答案为：（3，56）

点评：本题主要考查指数函数的综合应用．注意题中所给“安全区域”的条件的使用．