Question

（2012•广州一模）如图，在四面体PABC中，PA=PB，CA=CB，D、E、F、G分别是PA、AC、CB、BP的中点．
（1）求证：D、E、F、G四点共面；
（2）求证：PC⊥AB；
（3）若△ABC和△PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，PC=

2

，求四面体PABC的体积．

Answer 1

分析：（1）先利用三角形中位线定理和平行公理证明DG∥EF，从而利用平面的性质公理证明四点共面；
（2）取AB中点为O，先利用线面垂直的判定定理证明AB⊥面POC，再利用线面垂直的定义证明结论即可；
（3）先利用线面垂直的判定定理证明PO⊥面ABC，再利用棱锥体积计算公式计算体积即可

解答：解：（1）依题意DG∥AB，EF∥AB，
∴DG∥EF，
∴DG、EF共面，从而D、E、F、G四点共面．
（2）取AB中点为O，连接PO、CO
∵PA=PB，CA=CB，∴PO⊥AB，CO⊥AB，
∵PO∩CO=O，∴AB⊥面POC
∵PC?面POC，∴AB⊥PC
（3）因为△ABC和PAB是等腰直角三角形，所以PO=CO=

1

2

AB=1，
∵PC=

2

，OP²+OC²=PC²，∴OP⊥OC，
又PO⊥AB，且AB∩OC=O，
∴PO⊥面ABC
∴VP-ABC=

1

3

×PO×S△ABC=

1

3

×1×2×1×

1

2

=

1

3

点评：本题主要考查了三棱锥中的线面关系和计算，线面垂直的判定和定义，平面的基本性质及其公理，三棱锥体积计算公式等知识