Question

己知集合M={（x，y）|x＞0，y＞0，x+y=k}，其中k为大于0的常数．
（Ⅰ）对任意（x，y）∈M，t=xy，求t的取值范围；
（Ⅱ）求证：当k≥1时，不等式(

1

x

-x)(

1

y

-y)≤(

k

2

-

2

k

)2对任意（x，y）∈M恒成立；
（Ⅲ）求使不等式(

1

x

-x)(

1

y

-y)≥(

k

2

-

2

k

)2对任意（x，y）∈M恒成立的k的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由 x，y均为正数，从而t=xy ≤(

x+y

2

)2=

k2

4

，从而求得xy取值范围．
（Ⅱ）令t=xy，由（1）知t∈(0，

k2

4

]，则  (

1

x

-x)(

1

y

-y)=f（t）=t-

k2-1

t

+2，t∈(0，

k2

4

]，
为增函数，故有 f(t) ≤ f(

k2

4

)，化简可得 (

1

x

-x)(

1

y

-y)≤(

k

2

-

2

k

)2．
（Ⅲ）由（2）知，即求f(t)≥f(

k2

4

)对t∈(0，

k2

4

]恒成立的k的范围，故有 0＜k＜1，则1-k²＞0．要使不等式恒
成立，只要

1-k2

≥

k2

4

即可，由此求得k的取值范围．再把这个k的取值范围与0＜k＜1取交集，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）由（x，y）∈M知，x，y均为正数，从而t=xy≤(

x+y

2

)2=

k2

4

，
当且仅当x=y=

k

2

时取等号，所以xy取值范围为(0，

k2

4

]．
（Ⅱ）令t=xy，则由（1）知t∈(0，

k2

4

]，
 得 (

1

x

-x)(

1

y

-y)=

1

xy

-(

x

y

+

y

x

)+xy=

1

xy

-

(x+y)2-2xy

xy

+xy 
=xy-

(x+y)2-1

xy

+2=t-

k2-1

t

+2，
令f（t）=t-

k2-1

t

+2，t∈(0，

k2

4

]，
∵k≥1，∴k²-1≥0，则易证f（t）=t-

k2-1

t

+2，t∈(0，

k2

4

]为增函数，
∴f(t)≤f(

k2

4

)=

k2

4

-

k2-1

k2 4

+2=

k2

4

-2+

4

k2

=(

k

2

-

2

k

)2，即(

1

x

-x)(

1

y

-y)≤(

k

2

-

2

k

)2成立．
（Ⅲ）由（2）知，f（t）=t+

1- k2

t

+2，f（

k2

4

）=(

k

2

-

2

k

)2，
本题即求f(t) ≥ f(

k2

4

) 对t∈(0，

k2

4

]恒成立的k的范围，故有 0＜k＜1，则1-k²＞0．
则由函数单调性的定义易证f（t）=t+

1-k2

t

+2在(0，

1-k2

]上递减，在[

1-k2

，+∞)上递增．
故要使不等式恒成立，只要

k2

4

≤

1-k2

 即可，即 k⁴+16k²-16≤0．
解得-8+4

5

≥k²≥-8-4

5

，即-8+4

5

≥k²．
进一步解得

4 5 -8

≥k≥-

4 5 -8

．
由于4

5

＞9，∴4

5

-8＞1．
综合1＞k＞0可得，所求的k的范围是（0，1）．

点评：本题考查不等式的性质，函数的恒成立问题，函数的单调性与最值，体现了换元的思想，利用函数的单调性求出函数
的最值，是解题的关键．