Question

已知函数f（x）=

x2+a

x

，且f（1）=2
（1）判断并证明函数f（x）在其定义域上的奇偶性；
（2）探究函数f（x）在（0，+∞）的单调性；
（3）求函数f（x）在区间[

1

3

，4]上的最大值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用奇偶函数的定义即可判断f（x）在定义域上的奇偶性；
（2）设1＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），判断即可．判断并证明函数f（x）在其定义域上的奇偶性；
（3）根据函数f（x）在区间[

1

3

，4]上的单调性即可求出函数的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x2+a

x

，且f（1）=2，
∴a=1，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；
则f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

又∵f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
∴函数f（x）在定义域上是奇函数．
（2）设1＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）
=（x₁-x₂）+（

1

x1

-

1

x2

）
=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
=（x₁-x₂）

x1x2-1

x1x2

），
若1＜x₁＜x₂
则x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
即函数f（x）在（1，+∞）是单调递增函数．
若0＜x₁＜x₂＜1，则x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），此时函数单调递减．
即函数f（x）在（1，+∞）是单调递增函数，则（0，1）上单调递减函数．
（3）由（2）知函数f（x）在区间[

1

3

，1）上递减，则（1，4]单调递增，
则f（

1

3

）=

1

3

+3=

10

3

，f（4）=4+

1

4

=

17

4

则函数f（x）在区间[

1

3

，4]上的最大值为f（4）=

17

4

．

点评：本题考查函数奇偶性的判断，考查函数单调性的判断与证明，考查分析与推理能力，属于中档题．