Question

已知等差数列{a_n}的前三项为3x-1，2x+6，33-x（x∈R）．
（1）求通项公式a_n；
（2）求当n为何值时，前n项和S_n最大．
（3）令b_n=a_n•2^n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差中项列出方程求出x的值，求出数列的首项、公差，利用等差数列的通项公式求出数列的通项．
（2）假设前n项和最大，则前n项都是非负项，从第n项开始后面的项是非正项，列出不等式求出n的值．
（3）根据数列{b_n}的通项特点：一个等差与等比数列的乘积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．

解答：解：（1）由2（2x+6）=3x-1+33-x得x=10
数列{a_n}是首项为29，公差为-3的等差数列，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=-3n+32
（2）由

an≥0 an+1≤0

得

-3n+32≥0 -3(n+1)+32≤0

，

29

3

≤n≤

32

3

，
当n=10时，前n项和S_n最大
（3）T_n=29+26•2+23•2²+…+（-3n+32）•2^n-1
2T_n=29•2+26•2²+…+（-3n+29）•2^n-1+（-3n+32）•2ⁿ
两式相减得-T_n=29-3（2+2²+…+2^n-1）-（-3n+32）•2ⁿ
化简得T_n=（35-3n）•2ⁿ-35

点评：求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，根据数列通项的特点选择合适的求和公式．