Question

11．已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，下列说法：
①对角线AC'被平面A'BD和平面B'CD'三等分；
②以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是$\frac{1}{6}$；
③正方体的内切球，与各条棱相切的球，外接球的表面积之比为1：2：3；
④正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积为$\frac{π}{3}$；
则正确的是①③．（写出所有正确的序号）

Answer 1

分析 ①如图所示，假设对角线AC₁与平面A₁BD相交于点M，可得AM⊥平面A₁BD．可得 $\frac{1}{3}$AM•$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（ $\sqrt{2}$）²=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1²×1，解得AM=$\frac{1}{3}$AC₁，即可判断出；
②以A₁，B，D，C₁为顶点的三棱锥的体积V=1³-4×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$，不是 $\frac{1}{6}$，即可判断出；
③设正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为 $\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$．即可得出表面积之比；
④正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积V=$\frac{1}{8}$×$\frac{4π}{3}$×1³=$\frac{π}{6}$；

解答 解：①如图所示，假设对角线AC₁与平面A₁BD相交于点M，可得AM⊥平面A₁BD．∴$\frac{1}{3}$AM•$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\sqrt{2}$）²=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1²×1，解得AM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{3}$AC₁，
因此对角线AC₁被平面A₁BD和平面B₁CD₁三等分，正确；
②而以A₁，B，D，C₁为顶点的三棱锥的体积V=1³-4×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{3}$，不是$\frac{1}{6}$，不正确；
③设正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$．因此表面积之比=4π（$\frac{1}{2}$）²：4π（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²：4π（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=1：2：3，正确；
④正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积V=$\frac{1}{8}$×$\frac{4π}{3}$×1³=$\frac{π}{6}$，不正确；
故答案为：①③．

点评 本题考查立体几何线线、线面、面面位置关系及体积计算等知识，考查了空间想象能力，考查了计算能力，属于较难题．