Question

7．如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD=$\frac{1}{3}$DB，点C为圆O上一点，且BC=$\sqrt{3}$AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD．
（Ⅰ）求证：CD⊥PA；
（Ⅱ）求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直，由线线垂直⇒线面垂直，再由线面垂直推导出线线垂直．
（Ⅱ）通过作出二面角的平面角，证明符合定义，再在三角形中求解．

解答 证明：（Ⅰ）连接OC，由AD=$\frac{1}{3}$BD知，点D为AO的中点，
又∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，
∵BC=$\sqrt{3}$AC，∴∠CAB=60°，
∴△ACO为等边三角形，∴CD⊥AO．
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
∴PD⊥平面ABC，又CD？平面ABC，
∴PD⊥CD，PD∩AO=D，
∴CD⊥平面PAB，PA？平面PAB，
∴CD⊥PA．
解：（Ⅱ）过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE，
由（Ⅰ）知CD⊥平面PAB，又PB？平面PAB，
∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，
∴PB⊥平面CDE，又CE？平面CDE，
∴CE⊥PB，
∴∠DEC为二面角C-PB-A的平面角．
由（Ⅰ）可知CD=$\sqrt{3}$，PD=BD=3，
∴PB=3$\sqrt{2}$，则DE=$\frac{PD×BD}{PB}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴在Rt△CDE中，tan∠DEC=$\frac{CD}{DE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cos∠DEC=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，即二面角C-PB-A的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线线垂直的判定、二面角的平面角及求法．二面角的求法：法1、作角（根据定义作二面角的平面角）--证角（符合定义）--求角（解三角形）．