Question

16．在直角坐标系xOy中，直线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2+t}\end{array}}\right.（t$为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，圆C₂的方程为$ρ=-2cosθ+2\sqrt{3}sinθ$．
（Ⅰ）求直线C₁、圆C₂的普通方程；
（Ⅱ）设直线C₁和圆C₂的交点为A、B，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2+t}\end{array}}\right.（t$为参数），消去参数可得C₁的普通方程．圆C₂的方程为$ρ=-2cosθ+2\sqrt{3}sinθ$，即ρ²=-2ρcosθ+2$\sqrt{3}$ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式可得：圆心为$（-1，\sqrt{3}）$到直线的距离d，利用|AB|=2$\sqrt{{2}^{2}-{d}^{2}}$即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2+t}\end{array}}\right.（t$为参数），
消去参数可得：C₁的普通方程为x-y+1=0．
圆C₂的方程为$ρ=-2cosθ+2\sqrt{3}sinθ$，
即ρ²=-2ρcosθ+2$\sqrt{3}$ρsinθ，
可得直角坐标方程：x²+y²+2x-2$\sqrt{3}$y=0，
配方可得：圆${C_2}：{（x+1）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=4$．
（Ⅱ）圆心为$（-1，\sqrt{3}）$到直线的距离d=$\frac{|-1-\sqrt{3}+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{2}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标与直角坐标方程互化、直线与圆相交弦长公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．