Question

5．已知函数f（x）=2log₃（x-a）-1og₃（x+3）．
（1）当a=3时，解不等式f（x）≥0；
（2）当x∈（-3，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=3时，不等式f（x）≥0可化为：2log₃（x-3）-1og₃（x+3）≥0．即$\frac{（x-3）^{2}}{x+3}≥1$，解得答案；
（2）（2）当x∈（-3，+∞）时，f（x）≥0恒成立，则$\left\{\begin{array}{l}-3-a≥0\\ \frac{{（x-a）}^{2}}{x+3}≥1\end{array}\right.$恒成立，解得答案．

解答 解：（1）当a=3时，不等式f（x）≥0可化为：2log₃（x-3）-1og₃（x+3）≥0．
即$\frac{（x-3）^{2}}{x+3}≥1$，
解得：x≥6，或-3≤x≤1，
∵-3≤x≤1时，x-3＜0，故不满足条件，
∴x≥6，
故原不等式的解集为：[6，+∞）；
（2）当x∈（-3，+∞）时，f（x）≥0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}-3-a≥0\\ \frac{{（x-a）}^{2}}{x+3}≥1\end{array}\right.$恒成立，
即a≤-3，且x²-（2a+1）x+a²-3≥0在x∈（-3，+∞）时恒成立，
当a+$\frac{1}{2}$≤-3，即a≤-$\frac{7}{2}$时，a²+6a+9≥0恒成立；
当a+$\frac{1}{2}$＞-3，即-$\frac{7}{2}$＜a≤-3时，$\frac{4（{a}^{2}-3）-（2a+1）^{2}}{4}≥0$，解得：-$\frac{7}{2}$＜a≤-$\frac{13}{4}$，
综上所述，实数a的取值范围为a≤-$\frac{13}{4}$．

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，对数不等式的解法，难度中档．