Question

13．y=log_a（x²+ax+1）没有最小值，则a的所有取值的集合是{a|0＜a＜1或a≥2}．

Answer 1

分析 先根据复合函数的单调性确定函数g（x）=x²+ax+1的单调性，进而分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论：①当a＞1时，考虑对数函数的图象与性质得到要使y=log_a（x²+ax+1）没有最小值，必须g（x）_min≤0；②当0＜a＜1时g（x）=x²+ax+1没有最大值，从而使得函数y=log_a（x²+ax+1）没有最小值．最后取这两种情形的并集即可．

解答 解：令g（x）=x²+ax+1（a＞0，且a≠1），
①当a＞1时，y=log_ax在R⁺上单调递增，
∴要使y=log_a（x²+ax+1）没有最小值，必须g（x）_min≤0，
∴△≥0，
解得a≤-2或a≥2，
∴a≥2；
②当0＜a＜1时，g（x）=x²+ax+1没有最大值，从而使得函数y=log_a（x²+ax+1）没有最小值，符合题意．
综上所述：0＜a＜1或a≥2．
故答案为：{a|0＜a＜1或a≥2}．

点评 本题考查对数函数的值域最值，着重考查复合函数的单调性，突出分类讨论与转化思想的考查，是中档题．