Question

已知F₁、F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以线段F₁F₂为边作正△MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线时，双曲线的离心率e=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先判断P在y轴上，设|F₁F₂|=2c，则M（0，

3

c），求出边MF₁的中点，代入双曲线方程，再由离心率公式和ab，c的关系，得到e的方程，注意e＞1，解得即可．

解答： 解：以线段F₁F₂为边作正△MF₁F₂，则M在y轴上，
可设|F₁F₂|=2c，则M（0，

3

c），
又F₁（-c，0），则边MF₁的中点为（-

c

2

，

3

2

c），
代入双曲线方程，可得，

c2

4a2

-

3c2

4b2

=1，由于b²=c²-a²，e=

c

a

，
则有e²-

3e2

e2-1

=4，即有e⁴-8e²+4=0，
解得，e²=4±2

3

，由于e＞1，即有e=1+

3

．
故答案为：1+

3

．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．