Question

已知f（x）=alnx+

1

2

x²（a＞0），若对任意两个不等的正实数x₁、x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞2恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：依题意知，f′（x）=

a

x

+x≥2（x＞0）恒成立?a≥2x-x²恒成立，令g（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，利用二次函数的对称性、单调性与最值，可求得g（x）_max，于是可得a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=alnx+

1

2

x²（a＞0），对任意两个不等的正实数x₁、x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞2恒成立，
∴f′（x）=

a

x

+x≥2（x＞0）恒成立，
∴a≥2x-x²恒成立，令g（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，
则a≥g（x）_max，
∵g（x）=2x-x²为开口方向向下，对称轴为x=1的抛物线，
∴当x=1时，g（x）=2x-x²取得最大值g（1）=1，
∴a≥1．
即a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查导数的几何意义与二次函数的对称性、单调性与最值，考查转化思想．