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    对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
    （1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由．
    第一组：；
    第二组：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1．
    （2）设，生成函数h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
    （3）设，取a＞0，b＞0生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2=1，试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．
    【答案】分析：（1）化简h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），使得与相同，求出a，b判断结果满足题意；类似方法计算判断第二组．
    （2）设，生成函数化简不等式h（4x）+t•h（2x）＜0，在x∈[2，4]上有解，就是求的最大值，即可．
    （3）由题意得，，则，由于生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．故，可求得所以函数．假设存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立．即有，从而转化为求u的最小值即可．
    解答：解：（1）①设，即
    取，所以h（x）是f1（x），f2（x）的生成函数．
    ②设a（x2+x）+b（x2+x+1）=x2-x+1，即（a+b）x2+（a+b）x+b=x2-x+1，则，该方程组无解．
    所以h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．…（4分）
    （2）h（4x）+t•h（2x）＜0，即log2（4x）+t•log2（2x）＜0
    所以，（2+log2x）+t（1+log2x）＜0．因为x∈[2，4]，所以1+log2x∈[2，3]
    则，函数在[2，4]上单调递增，所以
    故． …（10分）
    （3）由题意得，，则，
    故，解得所以． …（12分）
    假设存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立．
    于是设=
    =
    设t=x1x2，则，即
    设
    因为，所以，在上单调递减，从而
    故存在最大的常数m=289…（16分）
    点评：本题考查其他不等式的解法，函数的概念及其构成要素，函数恒成立问题，考查值思想，分类讨论，计算能力，函数与方程的思想，是中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
    （Ⅰ）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；
        第一组：f1(x)=sinx，  f2(x)=cosx，  h(x)=sin(x+
    π
    3
    )    ；
        第二组：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1；
    （Ⅱ）设f1(x)=log2x，  f2(x)=log
    1
    2
    x，  a=2，  b=1    ，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；
    （Ⅲ）设f1(x)=x，   f2(x)=
    1
    x
       (1≤x≤10)    ，取a=1，b＞0，生成函数h（x）使h（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•浦东新区一模）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
    （1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由．
    第一组：f1(x)=sinx，f2(x)=cosx，h(x)=sin(x+
    π
    3
    )    ；
    第二组：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1．
    （2）设f1(x)=log2x，f2(x)=log
    1
    2
    x，a=2，b=1    ，生成函数h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
    （3）设f1(x)=x(x＞0)，f2(x)=
    1
    x
    (x＞0)    ，取a＞0，b＞0生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2=1，试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：怀柔区二模 题型：解答题

    对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
    （Ⅰ）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；
    第一组：f1(x)=sinx，  f2(x)=cosx，  h(x)=sin(x+
    π
    3
    )    ；
    第二组：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1；
    （Ⅱ）设f1(x)=log2x，  f2(x)=log
    1
    2
    x，  a=2，  b=1    ，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；
    （Ⅲ）设f1(x)=x，   f2(x)=
    1
    x
       (1≤x≤10)    ，取a=1，b＞0，生成函数h（x）使h（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2011年江苏省常州市武进区前黄高级中学高考数学二模试卷（解析版） 题型：解答题

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    （1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由．
    第一组：；
    第二组：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1．
    （2）设，生成函数h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
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