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对于函数f1(x),f2(x),h(x),如果存在实数a,b使得h(x)=a•f1(x)+b•f2(x),那么称h(x)为f1(x),f2(x)的生成函数.
(Ⅰ)下面给出两组函数,h(x)是否分别为f1(x),f2(x)的生成函数?并说明理由;
    第一组:f1(x)=sinx,  f2(x)=cosx,  h(x)=sin(x+
π
3
)

    第二组:f1(x)=x2-x,f2(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1;
(Ⅱ)设f1(x)=log2x,  f2(x)=log
1
2
x,  a=2,  b=1
,生成函数h(x).若不等式3h2(x)+2h(x)+t<0在x∈[2,4]上有解,求实数t的取值范围;
(Ⅲ)设f1(x)=x,   f2(x)=
1
x
   (1≤x≤10)
,取a=1,b>0,生成函数h(x)使h(x)≥b恒成立,求b的取值范围.
分析:(Ⅰ)化简h(x)=a•f1(x)+b•f2(x),使得与h(x)=sin(x+
π
3
)
相同,求出a,b判断结果满足题意;类似方法计算判断第二组.
(Ⅱ)设f1(x)=log2x,  f2(x)=log
1
2
x,  a=2,  b=1
,生成函数h(x)=2f1(x)+f2(x)=2log2x+log
1
2
x=log2x
.化简不等式3h2(x)+2h(x)+t<0,在x∈[2,4]上有解,就是求t<-3h2(x)-2h(x)=-3log22x-2log2x的最小值,即可.
(Ⅲ)设f1(x)=x,   f2(x)=
1
x
   (1≤x≤10)
,取a=1,b>0,生成函数h(x)=x+
b
x
 (1≤x≤10)

使h(x)=x+
b
x
≥ b  (1≤x≤10)
恒成立,分类讨论
b
∈[1,  10];
b
≤1;
b
≥10
,求出b的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)①设asinx+bcosx=sin(x+
π
3
)
,即asinx+bcosx=
1
2
sinx+
3
2
cosx

a=
1
2
,  b=
3
2
,所以h(x)是f1(x),f2(x)的生成函数.(2分)
②设a(x2+x)+b(x2+x+1)=x2-x+1,即(a+b)x2+(a+b)x+b=x2-x+1,
a+b=1
a+b=-1
b=1
,该方程组无解.
所以h(x)不是f1(x),f2(x)的生成函数.(4分)

(Ⅱ)h(x)=2f1(x)+f2(x)=2log2x+log
1
2
x=log2x
(5分)
若不等式3h2(x)+2h(x)+t<0在x∈[2,4]上有解,
3h2(x)+2h(x)+t<0,即t<-3h2(x)-2h(x)=-3log22x-2log2x(7分)
设s=log2x,则s∈[1,2],y=-3log22x-2log2x=-3s2-2s,(9分)
ymax=-5,故,t<-5.(10分)

(Ⅲ)由题意,得h(x)=x+
b
x
  (1≤x≤10)

1°若
b
∈[1,  10]
,则h(x)在[ 1 , 
b
]
上递减,在[
b
,10]
上递增,
hmin=h(
b
)=2
b

所以
1≤
b
≤10
2
b
≥b
,得1≤b≤4(12分)
2°若
b
≤1
,则h(x)在[1,10]上递增,则hmin=h(1)=1+b,
所以
b
≤1
1+b≥b
,得0<b≤1.(14分)
3°若
b
≥10
,则h(x)在[1,10]上递减,则hmin=h(10)=10+
b
10
,故
b
≥10
10+
b
10
≥b
,无解
综上可知,0<b≤4.(16分)
点评:本题考查其他不等式的解法,函数的概念及其构成要素,函数恒成立问题,考查值思想,分类讨论,计算能力,函数与方程的思想,是中档题.
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(1)下面给出两组函数,h(x)是否分别为f1(x),f2(x)的生成函数?并说明理由.
第一组:f1(x)=sinx,f2(x)=cosx,h(x)=sin(x+
π
3
)

第二组:f1(x)=x2-x,f2(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1.
(2)设f1(x)=log2x,f2(x)=log
1
2
x,a=2,b=1
,生成函数h(x).若不等式h(4x)+t•h(2x)<0在x∈[2,4]上有解,求实数t的取值范围.
(3)设f1(x)=x(x>0),f2(x)=
1
x
(x>0)
,取a>0,b>0生成函数h(x)图象的最低点坐标为(2,8).若对于任意正实数x1,x2且x1+x2=1,试问是否存在最大的常数m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立?如果存在,求出这个m的值;如果不存在,请说明理由.

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第一组:f1(x)=sinx,  f2(x)=cosx,  h(x)=sin(x+
π
3
)

第二组:f1(x)=x2-x,f2(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1;
(Ⅱ)设f1(x)=log2x,  f2(x)=log
1
2
x,  a=2,  b=1
,生成函数h(x).若不等式3h2(x)+2h(x)+t<0在x∈[2,4]上有解,求实数t的取值范围;
(Ⅲ)设f1(x)=x,   f2(x)=
1
x
   (1≤x≤10)
,取a=1,b>0,生成函数h(x)使h(x)≥b恒成立,求b的取值范围.

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(1)下面给出两组函数,h(x)是否分别为f1(x),f2(x)的生成函数?并说明理由.
第一组:
第二组:f1(x)=x2-x,f2(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1.
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(3)设,取a>0,b>0生成函数h(x)图象的最低点坐标为(2,8).若对于任意正实数x1,x2且x1+x2=1,试问是否存在最大的常数m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立?如果存在,求出这个m的值;如果不存在,请说明理由.

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