Question

已知两条直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，(A2+B2≠0且C₁≠C₂）．求证：
（1）l₁∥l₂；
（2）l₁与l₂之间的距离是d=

|C1-C2|

A2+B2

．

Answer 1

分析：（1）方法一：利用直线的斜率垂直与不存在两种情况，判断两条直线的平行即可．
方法二：利用直线平行的充要条件，证明两条直线平行．
（2）直径利用两条平行直线的距离公式求解即可．

解答：证明：（1）（方法一）若B=0，则A≠0，
∴两条直线变为：x=-

C1

A

，x=-

C2

A

，
∴两条直线都与x轴垂直，
∴l₁∥l₂或重合．
又由于C₁≠C₂，
∴l₁∥l₂．…（2分）
若B≠0，则两直线方程化为l1：y=-

A

B

x-

C1

B

；l2：y=-

A

B

x-

C2

B

．
∴k1=-

A

B

，b1=-

C1

B

；k2=-

A

B

，b2=-

C2

B

．又C₁≠C₂，
∴k₁=k₂且b₁≠b₂，
即两直线的斜率相等且在y轴上的截距不等，
∴l₁∥l₂．…（6分）
（方法二）∵AB-BA=0，
∴l₁∥l₂或重合．
又∵BC₂-BC₁=B（C₂-C₁）．
当B≠0时，∵C₁≠C₂，
∴BC₂-BC₁≠0，因此l₁∥l₂；…（2分）
当B=0时，A≠0，
∴两条直线变为：x=-

C1

A

，x=-

C2

A

，
∴两条直线都与x轴垂直，
∴l₁∥l₂或重合．
又由于C₁≠C₂，∴l₁∥l₂．…（6分）
（2）在l₁上任取一点P（x₁，y₁），
则Ax₁+By₁=-C₁．
∴l₁与l₂之间的距离等于点P到l₂的距离，…（9分）
d=

|Ax1+By1+C2|

A2+B2

=

|C2-C1|

A2+B2

．…（12分）

点评：本题考查两条直线的平行的证明，平行线之间的距离的求法，考查计算能力基本知识的应用．