Question

已知不等式x²-2x-3≤0的解集为A，不等式

x-2

x-5

≥0的解集为B．
（1）求A∩B；
（2）若不等式x²+ax+b≤0的解集为A∩B，求a，b的值．

Answer 1

考点：交集及其运算,一元二次不等式的解法

专题：集合

分析：（1）解一元二次不等式求得A、解分式不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．
（2）结合题意利用由韦达定理可得

-1+2=-a -1×2=b

，由此解的a和b的值．

解答： 解：（1）不等式x²-2x-3≤0即 （x-3）（x+1）≤0，解得-1≤x≤3，故有A=[-1，3]．
由不等式

x-2

x-5

≥0可得

(x-2)(x-5)≥0 x-5≠0

，解得x≤2，或 x＞5，故有B=（-∞，2]∪（5，+∞）．
∴A∩B=[-1，2]．
（2）若不等式x²+ax+b≤0的解集为A∩B=[-1，2]，
则由韦达定理可得

-1+2=-a -1×2=b

，即a=-1，b=-2．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法、分式不等式的解法，两个集合的交集的定义，韦达定理的应用，属于基础题．