Question

【题目】已知数列{an}满足an+2﹣2an+1+an=0（n∈N*），a2=4，其前7项和为42，设数列{bn}是等比数列，数列{bn}的前n项和为Sn满足b1=a1﹣1，S30﹣（310+1）S20+310S10=0．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令cn=1+log3 ，dn= + ，求证：数列{dn}的前n项和Tn≥ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵数列{an}满足an+2﹣2an+1+an=0（a∈N*），∴数列{an}是等差数列，设公差为d．

∵a2=4，其前7项和为42，∴a1+d=4，7a1+ d=42，

解得a1=3，d=1．∴an=3+（n﹣1）=n+2．

设等比数列{bn}的公比为q，b1=a1﹣1=2，

S30﹣（310+1）S20+310S10=0．

∴ =310=q10，解得q=3．

∴bn=2×3n﹣1

（2）证明：cn=1+log3 =n，

dn= + = =2+2 ，

∴数列{dn}的前n项和Tn=2n+2 + +…+

=2n+3﹣2 ，

可得：数列{Tn}是单调递增数列，∴Tn≥T1=5﹣2× =

【解析】（1）由数列{an}满足an+2﹣2an+1+an=0（a∈N*），可得数列{an}是等差数列，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出an ． 设等比数列{bn}的公比为q，b1=a1﹣1=2，S30﹣（310+1）S20+310S10=0．可得 =310=q10 ， 解得q，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）cn=n，dn= =2+2 ，利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．