Question

如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面边长为a，点M在边 BC上，△AMC₁是以点M为直角顶点的等腰直角三角形。
（Ⅰ）求证点M为边BC的中点；
（Ⅱ）求点C到平面AMC₁的距离；
（Ⅲ）求二面角M—AC₁—C的大小。

Answer 1

（Ⅰ）点M为BC边的中点  
（Ⅱ）∴点C到平面AMC₁的距离为底面边长为
（Ⅲ）二面角M—AC₁—C的大小为45°

本试题主要考查了立体几何中，空间点线面的位置关系的运用。第一问中，利用△AMC₁为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴AM⊥C₁M且AM=C₁M
又因为CC₁⊥底面ABC∴C₁M在底面内射影为CM，AM⊥CM。所以点M为BC边的中点
二问中，利用作辅助线，表示，即为所求
三问中，过点C作CI⊥AC₁于I，连HI，∵CH⊥平面C₁AM，作出二面角的大小，然后借助于定义法得到结论。
（Ⅰ）∵△AMC₁为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴AM⊥C₁M且AM=C₁M
∵三棱柱ABC—A₁B₁C₁，∴CC₁⊥底面ABC∴C₁M在底面内射影为CM，AM⊥CM。
∵底面ABC为边长为a的正三角形，∴点M为BC边的中点         --------------------4分
（Ⅱ）过点C作CH⊥MC₁，由（Ⅰ）知AM⊥C₁M且AM⊥CM，
∴AM⊥平面C₁CM        ∵CH在平面C₁CM内，∴CH⊥AM，
∴CH⊥平面C₁AM
由（Ⅰ）知，AM=CM=,CM=
∴∴
∴点C到平面AMC₁的距离为底面边长为-------------------8分
（Ⅲ）过点C作CI⊥AC₁于I，连HI，∵CH⊥平面C₁AM，
HI⊥AC₁，∠CIH是二面角M—AC₁—C的平面角
∴HI为CI在平面C₁AM内的射影，
∴HI⊥AC₁，∠CIH是二面角M—AC₁—C的平面角，在直角三角形ACC₁中     ，
∴∠CIH=45°，        ∴二面角M—AC₁—C的大小为45°