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    【题目】已知函数.

    （1）判断函数在上的单调性，并证明；

    （2）若恒成立，求的最小值；

    （3）记，求集合中正整数的个数；

    【答案】（1）单调递增，证明见解析（2）4（3）见解析

    【解析】

    （1）去掉绝对值符号后由二次函数性质可得，并按定义证明；

    （2）直接代入解析式．不等式为二次不等式，由一元二次不等式恒成立可得；

    （3）求出和，利用二项式定理确定除以3所得余数，从而可确定怎样计算上正整数个数．

    （1）在单调递增

    证明：任取

    ∵，∴，

    又，则

    则，则单调递增.

    （2）由恒成立可得

    恒成立，且

    ∴恒成立，

    ∴，解得：

    所以，的最小值为4.

    （3），

    则时，区间为，正整数个数为0，

    时，∵

    为偶数时，；

    为奇数时，；

    而同奇偶，同奇偶

    ①为偶数时，正整数个数为：

    ②为奇数时（）

    正整数个数为：.

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    【题目】已知函数．

    （1）当时，若函数在，（）处导数相等，证明：；

    （2）是否存在，使直线是曲线的切线，也是曲线的切线，而且这样的直线是唯一的，如果存在，求出直线方程，如果不存在，请说明理由．

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    【题目】已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点，线段的垂直平分线恰过点，则该双曲线的离心率为（ ）

    A.B.C.D.

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    【题目】已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点

    （1）求椭圆的方程；

    （2）设不过原点的直线与该椭圆交于两点，满足直线的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．

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    【题目】在棱长为1的正方体中，E，F分别为线段CD和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（　　）

    A. 有最小值B. 有最大值C. 为定值3D. 为定值2

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    【题目】已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线上，若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为.

    （1）求该椭圆的方程.

    （2）若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为.经过点的直线与椭圆交于两点.

    （1）求椭圆方程及离心率.

    （2）当直线的倾斜角为时，求线段的长；

    （3）记的面积分别为和，求最大值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知椭圆的右焦点为F，点B是椭圆C的短轴的一个端点，ΔOFB的面积为，椭圆C上的两点H、G关于原点O对称，且、的等差中项为2

    （1）求椭圆的方程；

    （2）是否存在过点M（2，1）的直线与椭圆C交于不同的两点P、Q，且使得成立？若存在，试求出直线的方程；若不存在，请说明理由

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    【题目】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

    （1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；

    （2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．

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