Question

【题目】某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间是（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40钟，根据上述分析结果回答下列问题：

（1）请你说明，当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；

（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义

由题意知，

当0＜x30时,f(x)=30<40, 公交群体的人均通勤时间恒大于自驾群体的人均通勤时间；

当30＜x＜100时，>40,

即x2-65x+900＞0，解得x＜20(舍去)或x＞45

∴ 当x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.

（2）当0＜x≤30时，g（x）=30x%+40（1-x%）=40-

当30＜x＜100时，；

∴

∵当0＜x≤30时, g（x）=40-是单调递减函数，g（30）=37，

当30＜x＜100时， ，且g（30）=37，

∴当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；

实际意义：说明该地上班族S中小于32.5%的人自驾时，随着自驾占比增大，人均通勤时间是递减的；大于32.5%的人自驾时，随着自驾占比增大，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最短