【题目】某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．
(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；
(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．
【答案】(1) 见解析(2) 见解析
【解析】试题分析：（1）由图一中国外市场的日销售量f（t）是一个分段函数，图二中在两段上均为一次函数，国内市场的日销售量g（t）是二次函数，利用选定系数法易求出国外市场的日销售量f（t）、国内市场的日销售量g（t）与第一批产品A上市时间t的关系式；（2）由图三中产品A的销售利润h（t）与上市时间t的关系，我们可求出家公司的日销售利润为F（t）的解析式，分析函数的单调性后，结合函数的单调性可得第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元．
试题解析：
(1)图①是两条线段，由一次函数及待定系数法，
得f(t)＝
图②是一个二次函数的部分图象，
故g(t)＝－
t2＋6t(0≤t≤40)．
(2)每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为h(t)＝
故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为
F(t)＝
当0≤t≤20时，F(t)＝3t 
＝－
t3＋24t2，
∴F′(t)＝－
t2＋48t＝t 
≥0，
∴F(t)在[0,20]上是增函数，
∴F(t)在此区间上的最大值为F(20)＝6000<6300.
当20<t≤30时，F(t)＝60
.
由F(t)＝6300，得3t2－160t＋2100＝0，
解得t＝
(舍去)或t＝30.
当30<t≤40时，F(t)＝60
.
由F(t)在(30,40]上是减函数，
得F(t)<F(30)＝6300.
故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6300万元，为上市后的第30天．
津桥教育计算小状元系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】我校为了让高一学生更有效率地利用周六的时间,在高一新生第一次摸底考试后采取周六到校自主学习,同时由班主任老师值班,家长轮流值班.一个月后进行了第一次月考,高一数学教研组通过系统抽样抽取了
名学生,并统计了他们这两次数学考试的优良人数和非优良人数,其中部分统计数据如下:
(1)请画出这次调查得到的
列联表;并判定能否在犯错误概率不超过
的前提下认为周六到校自习对提高学生成绩有效?
(2)从这组学生摸底考试中数学优良成绩中和第一次月考的数学非优良成绩中,按分层抽样随机抽取
个成绩,再从这
个成绩中随机抽取
个,求这
个成绩来自同一次考试的概率.
下面是临界值表供参考:
(参考公式: 
,其中
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【题目】如图，已知椭圆
： 
的离心率为
， 
、
为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2， 
、
为椭圆
上异于
、
的两点，且直线
的斜率等于直线
斜率的2倍．
（Ⅰ）求证：直线
与直线
的斜率乘积为定值；
（Ⅱ）求三角形
的面积
的最大值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知数列{an}满足an＝2＋2cos2
，n∈N*，等差数列{bn}满足a1＝2b1，a2＝b2.
(1)求bn；
(2)记cn＝a2n－1b2n－1＋a2nb2n，求cn；
(3)求数列{anbn}前2n项和S2n.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
已知在极坐标系和直角坐标系中，极点与直角坐标系的原点重合，极轴与
轴的非负半轴重合，曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
（
为参数）.
（1）求曲线
的直角坐标方程和曲线
的普通方程；
（2）判断曲线
与曲线
的位置关系，若两曲线相交，求出两交点间的距离.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知AB是圆O的直径，C，D是圆上不同两点，且CD∩AB＝H，AC＝AD，PA⊥圆O所在平面．
(Ⅰ)求证：PB⊥CD；
(Ⅱ)若PB＝
，∠PBA＝
，∠CAD＝
，求H到平面PBD的距离．
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