Question

【题目】在如图所示的多面体中， 平面， ， ， ， ， ， ， 是的中点．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可知， ， 两两垂直，以点为坐标原点， ， ， 分别为轴，建立空间直角坐标系，由已知得， ， 即证得（Ⅱ）由已知得是平面的法向量，设平面的法向量为， 计算得令，得 设平面与平面所成锐二面角的大小为，则 通过计算即得结果.

试题解析：

（Ⅰ）∵平面， 平面， 平面，

∴， ．又，

∴， ， 两两垂直．

以点为坐标原点， ， ， 分别为轴，

建立空间直角坐标系，

由已知得， ， ， ， ， ， ，

∴， ．

∴，∴．

（Ⅱ）由已知得是平面的法向量，

设平面的法向量为，

∵， ，

∴，即，令，得，

设平面与平面所成锐二面角的大小为，

则 ．

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．